history

LUNE OF HIPPOCRATES

The Lune of Hippocrates is the upper shaded area. It has the same area as the lower shaded triangle.

In geometry, the lune of Hippocrates, named after Hippocrates of Chios, is a lune bounded by arcs of circles, one of which passes through the center of the other and has half the area of the other. Equivalently, it is a non-convex plane region bounded by one 180-degree circular arc and one 90-degree circular arc.

Hippocrates wanted to solve the classic problem of squaring the circle, i.e. constructing a square by means of straightedge and compass, having the same area as a given circle. Not until 1882, with Ferdinand von Lindemann's proof of thetranscendence of π, was that proved to be impossible.

Hippocrates proved that the lune bounded by the arcs labeled E and F in the figure, has the same area as does triangle ABO.

This afforded some hope of solving the circle-squaring problem, since the lune is bounded only by arcs of circles.

The result can be proved as follows: The center of the circle on which the arc AEB lies is the point D, which is the midpoint of the hypotenuse of the isosceles right triangle ABO. Therefore the diameter AC of the larger circle ABC is √2 times the diameter of the smaller circle on which the arc AEB lies. Consequently the smaller circle has half the area of the larger circle. The semicircle bounded by the arc AEB and the diameter AB therefore has the same area as the quarter-circle bounded by the arc AFB and the two radii OA and OB. Subtracting from both sides of that equality the area of the region bounded by the arc AFB and the line AB yields the result.

(To summarize, the quarter circle AFBOA is equal in area to the semicircle AEBDA. Subtracting the crescent-shaped area, AFBDA, from both, gives triangle ABO equal in area to lune AEBFA.)

Dalam geometri , yang lune Hippocrates , dinamai Hippocrates Chios , adalah lune dibatasi oleh busur lingkaran, salah satunya melewati pusat yang lain dan telah setengah daerah lainnya. Setara, itu adalah non- cembung daerah bidang yang dibatasi oleh satu derajat busur melingkar-180 dan satu 90-derajat busur melingkar.

Hippocrates ingin memecahkan masalah klasik mengkuadratkan lingkaran , yaitu membangun persegi dengan carastraightedge dan kompas , memiliki wilayah yang sama sebagai yang diberikan lingkaran . Tidak sampai 1882, denganFerdinand von Lindemann bukti s 'dari transendensi dari π , adalah bahwa terbukti tidak mungkin.

Hippocrates membuktikan bahwa lune dibatasi oleh busur berlabel E dan F dalam gambar, memiliki daerah yang sama seperti halnya segitiga ABO .

Ini diberikan beberapa harapan untuk memecahkan masalah lingkaran-mengkuadratkan, karena lune ini dibatasi hanya dengan busur lingkaran.

Hasilnya dapat dibuktikan sebagai berikut: Pusat lingkaran di mana busur AEB terletak adalah titik D , yang merupakan titik tengah sisi miring dari segitiga sama kaki kanan ABO . Oleh karena itu diameter AC lingkaran yang lebih besar ABC adalah √ 2 kali diameter lingkaran yang lebih kecil di mana busur AEB kebohongan. Akibatnya lingkaran kecil memiliki luas setengah lingkaran yang lebih besar. setengah lingkaran yang dibatasi oleh busur AEB dan diameter AB sehingga memiliki daerah yang sama dengan lingkaran-kuartal dibatasi oleh busur AFB dan dua jari-jari OA dan OB . Mengurangkan dari kedua sisi persamaan bahwa daerah daerah yang dibatasi oleh busur AFB dan garis AB hasil hasilnya.

(Untuk meringkaskan, AFBOA seperempat lingkaran sama di daerah dengan setengah lingkaran AEBDA. Dengan mengurangi daerah berbentuk bulan sabit, AFBDA, dari keduanya, memberikan segitiga ABO yang sama di daerah untuk lune AEBFA.)

Hippocrates 'mengkuadratkan dari Lunes

Orang Yunani pada zaman Pythagoras (6 th -5 ke abad SM) sudah tahu bagaimana persegi persegi panjang , sebuah segitiga , dan bahkan setiap poligon cembung . Ketika mengkuadratkan bentuk yang paling sederhana berikutnya - lingkaran - muncul masalah yang berat, mengkuadratkan tokoh lengkung lainnya, seperti lunes , telah dianggap sebagai batu loncatan alami dalam perjalanan untuk memecahkan masalah yang lebih sulit.

Yang pertama dan hasil yang paling terkenal pada 'quadrature lunes telah diperoleh oleh murid Pythagoras Hippocrates Chios dan melaporkan sekitar seratus tahun kemudian oleh Eudemus Rhodesdalam bukunya Sejarah Geometri . Sayangnya karya-karya baik Hippocrates dan Eudemus telah lama hilang. Untungnya, setidaknya sebagian dari Eudemus ' Sejarah telah diawetkan dalam sebuah komentar pada Aristoteles Fisika oleh Simplicius dari Kilikia (6 th abad Masehi) Dalam bab-bab yang ditujukan untuk quadrature dari lunes ia menulis:

... Aku harus menetapkan apa Eudemus menulis kata demi kata, menambahkan hanya demi kejelasan beberapa hal yang diambil dari Euclid's Elements pada rekening gaya ringkasan Eudemus, yang ditetapkan bukti dalam bentuk singkat sesuai dengan praktek kuno.

Yang berikut adalah kutipan dari 'komentar Simpilicius dibersihkan dari penambahan-Nya dengan I.Thomas :

The quadratures dari lunes, yang sepertinya milik kelas jarang proposisi dengan alasan hubungan dekat dengan lingkaran, pertama kali diselidiki oleh Hippocrates, dan sepertinya akan dipersiapkan dalam bentuk yang benar, karena itu kami akan membahasnya di panjang dan pergi melalui mereka. Dia membuat titik tolaknya, dan ditetapkan sebagai yang pertama dari teorema berguna untuk tujuannya, bahwa segmen serupa lingkaran memiliki rasio sama dengan kotak pada basis mereka. Dan ini dia membuktikan dengan menunjukkan bahwa kotak pada diameter memiliki rasio sama dengan lingkaran.

Setelah pertama ditampilkan ini ia menggambarkan dengan cara bagaimana hal itu mungkin untuk persegi lune yang luar lingkar setengah lingkaran. Dia melakukan ini dengan circumscribing tentang-siku sama kaki kanan setengah lingkaran dan segitiga tentang dasar segmen lingkaran mirip dengan yang dipotong oleh pihak. Karena segmen tentang dasar adalah sama dengan jumlah dari tentang sisi, mengikuti bahwa ketika bagian dari segitiga atas segmen tentang dasar ditambahkan pada keduanya, lune akan sama dengan segitiga. Oleh karena itu lune, yang telah terbukti sama dengan segitiga, bisa kuadrat. Dengan cara ini, mengambil setengah lingkaran sebagai lingkar luar lune tersebut,Hippocrates mudah kuadrat lune ini :

Selanjutnya dalam rangka dia menganggap dengan lingkaran luar lebih besar dari setengah lingkaran diperoleh dengan membangun sebuah trapesium memiliki tiga sisi sama dengan satu sama lain sementara satu, yang lebih besar dari sisi sejajar, adalah sedemikian rupa sehingga persegi di atasnya adalah tiga kali alun-alun di masing-masing sisi, dan kemudian memahami trapesium dalam lingkaran dan circumscribing tentang sisi terbesar segmen yang sama dengan yang terpisah dari lingkaran dengan tiga sisi yang sama. Bahwa segmen tersebut lebih besar dari setengah lingkaran adalah jelas jika diagonal digambarkan dalam trapesium tersebut. Untuk ini diagonal, subtending dua sisi trapesium, harus sedemikian rupa sehingga persegi di atasnya lebih besar dari dua kali lipat persegi di salah satu sisi yang tersisa. Oleh karena itu alun-alun di SM lebih besar dari dua kali lipat persegi di kedua AC, BA, dan karena itu juga pada CD. Oleh karena itu alun-alun di BD, yang terbesar dari sisi trapesium, harus kurang dari jumlah kuadrat pada diagonal dan bahwa salah satu sisi lain yang subtended oleh pihaknya terbesar bersama dengan diagonal. Untuk kotak pada SM, CD lebih besar dari tiga kali, dan alun-alun di BD sama dengan tiga kali, alun-alun di CD. Oleh karena itu berdiri di sudut di sisi terbesar dari trapesium adalah akut. Oleh karena itu segmen di mana ia lebih besar dari setengah lingkaran.Dan segmen ini adalah lingkar luar lune tersebut.

Jika lingkar luar kurang dari setengah lingkaran, Hippocrates dipecahkan ini juga, dengan menggunakan konstruksi awal berikut. Jadilah lingkaran dengan diameter AB dan pusat K. Mari membagi dua CD BK pada sudut kanan, dan membiarkan garis lurus EF ditempatkan antara ini dan lingkar verging terhadap B sehingga persegi di atasnya adalah satu-dan-setengah kali alun-alun di salah satu jari-jari tersebut. Biarkan EG ditarik sejajar dengan AB, dan dari K membiarkan garis lurus ditarik bergabung dengan E dan F. Biarkan garis lurus KF bergabung ke F dan diproduksi untuk memenuhi EG di G, dan sekali lagi membiarkan garis lurus ditarik dari F B bergabung dan G Hal ini kemudian nyata bahwa EF dihasilkan akan melewati B - oleh verges hipotesis EF terhadap B - dan BG akan sama dengan EK..